지난 글에서는 벡터로 표현한 서로 다른 두 직선의 교점을 구하는 방법을 정리하여 보았다.
이번 글에서는 내적의 개념과 내적의 응용 예시들을 정리해보겠다.
내적의 정의
벡터 a = (ax, ay, az), 벡터 b = (bx, by, bz) 라고 할 때,
벡터 a 와 벡터 b 의 내적은 아래와 같다.
a · b = ax * bx + ay * by + az * bz
또한 내적의 정의로부터 벡터 a 의 크기와 같은 두 백터를 내적한 값은 같다.
만약 두 백터 a, b의 크기와 두 벡터가 이루는 사이각을 안다면 아래와 같이 구할 수도 있다.
a · b = ||a|| * ||b|| * cos(세타)
이 식으로부터 내적은 일종의 '투사' 개념이며, 관점바꾸기에 사용됨을 이해할 수 있다.
벡터 a 를 벡터 b 의 방향으로 그림자를 내린 뒤 (투사), a의 그림자 크기와 b의 크기를 곱한 것이 내적이다.
만약 벡터 b 가 단위벡터라면, 벡터 a 를 벡터 b 의 방향으로 투사했을 때 그림자 크기가 될 것이다.
그리고 이를 이용하면, 두 벡터의 내적과 각각의 크기를 알 때 사이각을 역으로 구해낼 수도 있다.
또한 내적에 cos 값이 들어가기에, 각 벡터의 크기가 0 이 아닐 때, 두 벡터의 내적이 0 이면, 두 벡터는 서로 수직임을 알 수 있다.
내적의 결과값은 방향이 없는 스칼라값이며, 내적은 연산 순서가 바뀌어도 결과값은 같다. (교환법칙 성립)
내적의 응용
수업에서 소개한 내적의 응용 방법은 5가지가 있었다.
하나씩 정리하여보겠다.
1. 투사
파란색 A 좌표계 관점으로 바라보는 사람과 하얀색 B 좌표계 관점으로 바라보는 사람이 있다고 하자.
A 좌표계와 B좌표계는 45도만큼 돌아가있다.
이 상황에서 B 좌표계로 보는 사람이 A 좌표계 위의 (1, 0) 점을 바라보면, 이 점의 B좌표계에서 위치가 어디일까?
이렇게 A 좌표계 위의 점을 B 좌표계로 투사시켜 그 위치를 알고자 할 때, 내적을 사용할 수 있다.
A 좌표계 기준으로 해당 점이 (1, 0) 이고, B 좌표계는 A 좌표계와 45도 만큼 돌아가 있으니 cos 45도 를 넣고,
구하는 것이 A 좌표계의 점을 B 좌표계의 x축으로 투사시켰을 때, x 좌표 이므로, B 좌표계의 x축방향 단위벡터인 (1,0) 을 넣어 내적을 구하면 1 * 1 * cos45 = 1/루트2 가 된다.
Y축에 대해서도 똑같이 투사시켜 B좌표계에서 y 성분을 구하면 A좌표계에 대해 위치를 나타낸 점이 B 좌표계에서는 어떤 위치에 있는지 구체적인 위치 좌값을 구할 수 있다.
2. 사이각 계산
a · b = ||a|| * ||b|| * cos(세타)
위 식으로 부터, 내적값을 알면 역으로 사이각을 구할 수 있다.
사이각은 밝기, 명암 결정 등에 사용된다.
(빛이 비스듬하게 들어올 수록 더 어두워짐)
3. 다각형과 선의 만남
(추가 예정)
4. 다각형 내부/외부 판단
(추가 예정)
5. 직선 표현
우리가 사용하는 직선식을 우변이 0이 되도록 표현하면 보통 아래와 같이 표현한다.
ax + by + c = 0
위와 같은 표현식을 아래 벡터 식을 역으로 이용하여 벡터로 표현할 수 있다.
a · b = ax * bx + ay * by + az * bz
ax + by + c = 0
a*x + b*y + c*1 = 0
(a, b, c) · (x, y, 1) = 0
이렇게 직선식을 벡터로 표현하게 되면, 상수항을 표현하기 위해, x, y 이외에 1이라는 상수가 추가된다.
위와 같이 변수의 개수보다 하나 더 많은 항을 사용하여 표현하는 방식을 Homogeneous 방식이라고 한다.
물론 상수항 없이도 벡터로 표현할 수 있다.
이 경우, 벡터 표현식을 기하적으로도 이해할 수 있게 된다.
ax + by = d
(a, b) · (x, y) = d
이 의미는 (a, b) 벡터로 투사시킨 임의 위치벡터 (x, y) 의 그림자 길이가 모두 d 로 동일하다는 의미이다.
위 이미지에서 파란색 벡터가 (a, b) 벡터이고, 파란색 벡터의 크기, 즉, 원점부터 직선까지의 최단거리는 d 가 된다.
빨간색 백터가 임의점 (x, y) 벡터의 위치벡터이다.
파란색 벡터위로 임의 점 (x, y) 를 투사시킬 때, 그 그림자의 길이가 d 로 동일한 (x, y) 점들의 집합을 직선이라고 볼 수 있다.
지금까지 벡터의 내적과 그 응용 5가지에 대해 정리하여 보았다.
벡터의 내적은 직선식의 표현 뿐만 아니라 이후 평면식의 표현으로도 확장이 가능하다.
또 내적의 결과값의 부호를 통해 특정 영역에 어떤 점이 들어있는지, 들어있지 않은지 판별하는 것도 가능하다.
다음 글에서는 외적과 외적을 이용한 평면식의 표현에 대해 정리하여 보겠다.
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