[멀티미디어응용수학] 3. 외적과 외적의 응용

지난 글에서는 내적과 내적의 응용 5가지에 대해 정리하였다.

이번 글에서는 외적과 외적의 응용에 대해 정리하고자 한다.

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외적

내적때와 마찬가지로, 외적도 정의를 우선 깔고 시작하자.

 

외적은 a x b 로 표현하며, 이는 크기와 방향이 모두 있는 '벡터' 이다.

외적은 3차원에서만 사용가능하며, 아래와 같이 계산한다.

 

a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz)

 

a x b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)

 

식이 굉장히 복잡하다.

 

외적은 '방향' 이 존재하는 벡터인데, 외적의 결과 방향은 a와 b에 모두 수직인 방향이다.

이때 수직인 방향이 2개 존재하는데, 오른손을 기준으로 a, b 를 잡을 때 엄지손가락의 방향이 외적의 방향이다.

(왼손 좌표계를 사용하더라도 동일하므로, 왼손좌표계와 외적 방향은 구분하자)

 

외적의 크기는 아래와 같이 계산한다.

 

|| a x b || = ||a|| * ||b|| sin(세타)

 

이는 기하적으로 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적과 같다. (그래서 여기에 1/2 을 곱하면 삼각형의 면적이 된다.)

 

외적의 특징으로, 외적의 값이 0 이라는 이야기는 두 벡터가 평행하다는 의미이다.

또 외적은 방향이 존재하기에 교환법칙이 성립하지 않으며, a x b = - b x a 와 같다.

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외적의 응용

1. 좌표계 설정

임의의 두 벡터를 축으로 하는 좌표계가 주어질 때, 두 벡터의 외적을 통해 3차원 좌표계를 확정지을 수 있다.

 

2. 평면식

서로 다른 세 점이 주어질 때, 2점씩 묶은 직선식 2개를 구해 두 직선의 외적을 구하면, 평면의 법선벡터가 구해진다.

해당 법선벡터와 세 점 중 하나를 이용하면 평면식을 결정할 수 있다.

 

평면 위의 세 점 중 한 점의 위치벡터를 p, 평면 위 임의 점의 위치벡터를 x 라고 하면

x - p 벡터는 평면위의 직선벡터이다.

이 벡터는 평면의 법선벡터와 반드시 수직이어야 하므로, 이 방정식을 통해 평면식을 유도할 수 있다.

 

우선 내적을 이용해 평면식을 나타내는 방법을 먼저 생각해보자.

평면의 방정식은 ax + bx +cz = d 형식으로 나타난다.

 

내적을 이용하여 직선식을 유도했던 것과 동일하게, 이를 (a, b, c) · (x, y, z) = d 로 나타낼 수 있다.

직선에서의 경우와 마찬가지로, (a, b, c) 는 평면의 법선벡터이며, 이 법선벡터 쪽으로 투사시켰을 때, 그 그림자의 길이가 d가 되는 모든 점 (x, y, z) 의 집합이 평면을 나타내게 된다. (이때 (a, b, c) 는 크기가 1 인 단위벡터임에 주의하자! )

 

또한 (a, b, c) 가 단위벡터라면 d 는 원점에서 평면까지의 최단거리가 된다.

이 최단 거리에 대해서는 다음 글에서 더 자세하게 정리하여 보겠다.

 

이제 외적을 이용하여 평면식을 유도해보자.

서로 다른 세 점 a, b, c 의 위치벡터를 알고 있다고 할 때, 세 점을 연결하는 서로 다른 세 직선을 다음과 같이 구할 수 있다.

직선의 방향벡터를 e 라고 하면 3개의 방향벡터 e1, e2, e3 은 아래와 같다.

 

e1 = b - a

e2 = c - b

e3 = a - c

 

이 중 2개의 직선을 골라 다음과 같이 두 직선에 모두 수직인 축을 하나 정하면 이 수직인 축이 평면의 법선 벡터가 된다.

평면의 법선벡터를 n 이라고 하면 n 은 다음과 같다.

 

n = e1 x e2

n = e2 x e3

n = e3 x e1

 

어차피 법선벡터의 방향이 반대로 바뀌더라도 평면은 동일하게 하나로 결정되므로, 평면식을 구할 때는 외적의 순서에 상관이 없다.

아까 내적을 이용한 평면식의 표현 (a, b, c) · (x, y, z) = d 에서 (a, b, c) 가 법선벡터라고 하였으므로, 외적에서 구한 값을 여기에 대입하고, d 값을 구하기 위해 우리가 알고 있는 세 점 중 하나를 (x, y, z) 에 대입하여 d 값만 확정을 지어주면 평면의 방정식이 구해진다.

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지금까지 외적과 외적을 통해 평면식을 구하는 방법을 정리하였다.

다음 글에서는 직선과 직선 외부의 임의 점까지 최단거리를 구하는 방법,

평면과 평면 외부 임의 점까지 최단거리를 구하는 방법에 대해 정리하고자 한다.